Standard Form 소개
이차 방정식의 Standard Form은 다음과 같습니다:y = ax2 + bx + c
여기서 a와 b는 coefficient이고, c는 constant입니다. 예를 들어, y = 2x2 + 3x + 5와 같은 식에서 a = 2, b = 3, c = 5입니다. 이 값들은 문제에 따라 달라질 수 있습니다.
기본 그래프와 대칭성
기본적으로 y = x2의 그래프는 대칭적(symmetrical)입니다. 이 그래프는 아래와 같은 특징을 가지고 있습니다:
- a가 positive이면 포물선이 위로 열립니다.
- a가 negative이면 포물선이 아래로 열립니다.
이러한 대칭성 덕분에 포물선은 한 축을 기준으로 좌우가 동일한 형태를 가집니다.
Roots(근)이란 무엇일까?
Roots는 Function에서 y = 0 혹은 f(x) = 0일 때의 x 값을 의미합니다. 이는 x-axis와의 교점을 나타내며, x-intercepts와 동일한 개념입니다.
Roots를 구하는 방법에는 세 가지가 있습니다:
- Factorizing(인수분해)
- Completing the Square(제곱 완성)
- Quadratic Formula(이차 공식)
1. Factorizing(인수분해)
가장 쉬운 방법은 Factorizing입니다. 만약 다음과 같이 인수분해할 수 있다면:y = (x - a)(x - b)
이때, 0 = (x - a)(x - b)이므로 x = a 또는 x = b가 됩니다.
2. Completing the Square(완전제곱식)
두 번째 방법은 Completing the Square입니다. 이를 통해 식을 다음과 같이 변형할 수 있습니다:y = a(x - h)2 + k
이제 y = 0으로 설정하여 쉽게 풀 수 있습니다. 하지만 이 방법은 계산 과정이 길고 실수할 가능성이 있으므로 신중하게 접근해야 합니다.
3. Quadratic Formula(근의 공식)
세 번째 방법은 Quadratic Formula를 사용하는 것입니다. 이 방법은 Completing the Square와 동일한 결과를 제공하지만, 공식을 외워서 문제를 푸는 방식입니다. 공식은 다음과 같습니다:x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
여기서 a, b, c는 Standard Form의 계수들입니다.
Vertex(꼭짓점) 구하기
Vertex를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. Completing the Square를 하면 쉽게 Vertex를 찾을 수 있습니다. 이 결과를 Vertex Form이라고 부르기도 합니다.
(x - h)2 부분을 보면 x = h가 Axis of Symmetry임을 알 수 있습니다. 수학적으로 연습을 많이 하면 쉽게 이해할 수 있지만, 우리는 이를 보다 쉽게 이해할 필요가 있습니다.
y = x2 그래프가 대칭적이라는 사실을 이용하면, 그래프가 이동할 때도 이 성질을 활용할 수 있습니다. 이를 통해 빠르고 정확하게 문제를 풀 수 있습니다.
Roots를 구하는 방법을 알고 있다면, Axis of Symmetry는 매우 쉽게 구할 수 있습니다.
- Factorizing가 가능하면,
x = a,x = b라는 Roots를 쉽게 구할 수 있습니다. 이때, a와 b의 중점이 Axis of Symmetry가 됩니다. - Factorizing가 어려운 경우에는 Quadratic Formula를 활용하여 빠르게 구할 수 있습니다. Quadratic Formula는 분모가
2a이고, 분자에-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}가 있습니다. 이는 Axis of Symmetry가-b / (2a)임을 쉽게 알 수 있게 해줍니다.
Quadratic Formula는 Roots뿐만 아니라 Parabola에서 다양한 정보를 제공합니다.
Discriminant(판별식) 소개
b2 – 4ac에 대해 알아보겠습니다. 이를 Discriminant라고 부르며, Roots의 개수를 알려줍니다. 어렵게 생각할 필요는 없으며, Quadratic Formula에서 Discriminant를 잘 보면 알 수 있습니다.
- Discriminant가 negative이면, Roots가 존재하지 않습니다. 이는
y = 0을 만족하는 Real Roots가 없음을 의미합니다. - Discriminant가 positive이면, Roots가 두 개 존재합니다.
- Discriminant가 zero이면, 두 개의 Root가 동일한 값을 가집니다. 이를 Double Root라고 부릅니다.
Discriminant를 통해 그래프의 형태와 Roots의 개수를 쉽게 파악할 수 있습니다.
그래프 그리기
마지막으로, Quadratic Function의 그래프를 그리는 방법에 대해 알아보겠습니다. 저학년 때는 그래프 용지에 정확하게 눈금을 표시하여 점들을 정확히 찍어야 했지만, 이제는 보다 효율적으로 그래프를 그릴 수 있습니다.
Quadratic Functions의 그래프는 Vertex와 Roots를 기반으로 합니다. 이를 통해 다음과 같이 간단하게 그래프를 그릴 수 있습니다:
- Vertex의 위치를 먼저 찾습니다.
- Roots를 구하여 x-intercepts를 표시합니다.
- Axis of Symmetry를 기준으로 그래프를 대칭적으로 그립니다.
그래프를 그릴 때는 정확도가 완벽할 필요는 없으며, Vertex와 Roots를 중심으로 변환(transformation)하여 간단히 그리면 됩니다.